条件概率、全概率与贝叶斯公式 —— 一篇文章带你死磕概率公式

一件事情发生的概率等于造成这件事发生的接连发生的事件概率的乘积，如果要让A，B同时发生，那么就让其中一个先发生，不妨设为 A 吧，A 发生以后 B 再发生，这样子的话，A，B 就会同时发生

其实是因为如果事件 A 与 B 相互独立，互不影响，那么 $P(A|B) = P(A)$，所以 $P(A \cap B) = P(A|B)P(B) = P(A)P(B)$

而平时做的题目中，事件 A 和 B 往往是相互独立的，所以我们经常会用到 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 这个公式

如果事件 A 和 B 不是相互独立的，那么就不能使用 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 这个公式，而是要使用 $P(A \cap B) = P(A|B)P(B)$ 这个公式

根据上图可知 B 事件可以表示为 $B=A_1B \cup A_2B \cup A_3B$，而 $A_1B$、$A_2B$、$A_3B$ 互不相交，所以 $P(B) = P(A_1B) + P(A_2B) + P(A_3B)$

而我们知道 $A_iB$ 表示两件事情同时发生，所以 $P(A_iB) = P(A_i)P(B|A_i)$

则 $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$

要求的是在已知事件 $B$ 发生的条件下，事件 $A_i$ 发生的概率，这不就是条件概率的公式吗

所以 $P(A_i|B) = \frac{P(A_iB)}{P(B)}$，而 $P(A_iB) = P(A_i)P(B|A_i)$，所以 $P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}$

而 $P(B)$ 又可以用全概率公式表示为：$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i)$

这道题明显要用条件概率：已知不患病，求是携带者的概率

根据题意，事件 A 为不患病，事件 B 为携带者，则所求即是 $P(B|A)$

根据条件概率公式：$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$P(A \cap B)$ 表示同时满足不患病和携带者的概率，也就是 Aa。$P(A)$ 表示不患病的概率，也就是 AA 和 Aa 的概率之和

所以 $P(A \cap B)=P(\text{基因型是 Aa})=2pq=2 \times \frac{49}{50} \times \frac{1}{50} = \frac{98}{2500}$

$P(A)=P(\text{基因型是 AA})+P(\text{基因型是 Aa})=p^2+2pq=\frac{49}{50}^2+2 \times \frac{49}{50} \times \frac{1}{50} = \frac{2499}{2500}$

因此，P(B|A) 的计算为： $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{98}{2499} = \frac{2}{51}$

设 $B$ 为事件“患病”（基因型 aa）。

使用基因型作为完备事件组：设 $G_1$ = 基因型 AA，$G_2$ = 基因型 Aa，$G_3$ = 基因型 aa。这些事件互斥且完备

根据全概率公式，$P(B) = P(G_1)P(B|G_1) + P(G_2)P(B|G_2) + P(G_3)P(B|G_3)$

所以，$P(B) = \frac{2401}{2500} \times 0 + \frac{98}{2500} \times 0 + \frac{1}{2500} \times 1 = \frac{1}{2500}$

设 $C$ 为事件“孩子患病”（基因型 aa）。 设 $D$ 为事件“父母都是携带者”（父母基因型均为 Aa）

则所求为 $P(D|C)$，根据贝叶斯公式：$P(D|C) = \frac{P(D)P(C|D)}{P(C)}$

先计算 $P(D)P(C|D)$，

由于父母都是携带者的概率为 $P(D) = P(Aa) \times P(Aa) = 2pq \times 2pq = (2 \times \frac{49}{50} \times \frac{1}{50})^2 = \frac{9604}{6250000}$

$P(C|D)$ 表示在父母都是携带者的情况下，孩子患病的概率。根据孟德尔遗传定律，父母都是 Aa 的情况下，孩子患病的概率为 $P(C|D) = \frac{1}{4}$

所以，$P(D)P(C|D) = \frac{9604}{6250000} \times \frac{1}{4} = \frac{2401}{6250000}$

接下来计算 $P(C)$，即孩子患病的概率，$P(C) = q^2 = \frac{1}{50}^2 = \frac{1}{2500}$

最后带入贝叶斯公式：$P(D|C) = \frac{\frac{2401}{6250000}}{\frac{1}{2500}} = \frac{2401}{2500}$

1、条件概率题（已知不患病，求是携带者）

生物学思路： 表型正常的个体只能由配子组合形成 AA 或 Aa 基因型。携带者（Aa）在正常个体中的比例，本质是计算 含 a 等位基因的正常个体占比。

配子法步骤：

1. 正常个体的形成方式：

   • AA 型：需雄配子 A + 雌配子 A
   • Aa 型：可雄配子 A + 雌配子 a 或 雄配子 a + 雌配子 A

2. 计算比例：

   • 正常个体总概率 = $p^2$ (AA) + $2pq$ (Aa)
   • 携带者 (Aa) 概率 = $2pq$
   • 所求概率 = $\dfrac{\text{Aa 概率}}{\text{正常个体总概率}} = \dfrac{2pq}{p^2 + 2pq}$

3. 代入数值： $\dfrac{2 \times \dfrac{49}{50} \times \dfrac{1}{50}}{\left( \dfrac{49}{50} \right)^2 + 2 \times \dfrac{49}{50} \times \dfrac{1}{50}} = \dfrac{\dfrac{98}{2500}}{\dfrac{2401}{2500} + \dfrac{98}{2500}} = \dfrac{98}{2401 + 98} = \dfrac{98}{2499} = \dfrac{2}{51}$

答案：$\dfrac{2}{51}$

2、全概率公式题（求患病概率）

生物学思路：
患病个体基因型为 aa，只需两个 a 配子结合。直接利用配子随机结合原理。

配子法步骤：

1. 种群中雄配子 a 频率 = $q = \dfrac{1}{50}$

2. 种群中雌配子 a 频率 = $q = \dfrac{1}{50}$

3. 患病概率 = 雄配子 a × 雌配子 a = $q \times q = q^2$

4. 代入数值： $\left( \dfrac{1}{50} \right)^2 = \dfrac{1}{2500}$

答案：$\dfrac{1}{2500}$

3、贝叶斯公式题（已知患病个体，求父母都是携带者）

生物学思路：

• 患病孩子基因型为 aa ⇒ 必然从父母各继承一个 a 等位基因。
• 要求父母均为携带者（Aa），等价于：在父母各提供一个 a 配子的条件下，父母均非患者（即排除 aa 型）。

配子法步骤：

1. 父母提供 a 配子的概率：

   • 父亲提供 a 配子概率 = $P(\text{父亲}a) = q = \dfrac{1}{50}$
   • 母亲提供 a 配子概率 = $P(\text{母亲}a) = q = \dfrac{1}{50}$

2. 关键简化：

   • 父亲提供 a 配子时，其基因型可能是 Aa 或 aa。
   • 父亲是 Aa 的概率（已知提供 a 配子）= $\dfrac{P(\text{Aa}) \times P(\text{Aa} \to a)}{P(\text{提供}a)} = \dfrac{2pq \times \frac{1}{2}}{q} = \dfrac{pq}{q} = p$
     （分子：Aa 概率 × 提供 a 概率；分母：总提供 a 概率 = q）

3. 因此：

   • 父亲是携带者（Aa）的概率（已知提供 a 配子）= $p$
   • 母亲是携带者（Aa）的概率（已知提供 a 配子）= $p$
   • 父母独立 ⇒ 两者均为携带者的概率 = $p \times p = p^2$

4. 代入数值： $\left( \dfrac{49}{50} \right)^2 = \dfrac{2401}{2500}$

答案：$\dfrac{2401}{2500}$